CZĘŚĆ DWUDZIESTA
Po ostatnim tekście prawdopodobnie straciłem kilku czytelników, a miałem ich już dziesięciu. Pan Prezydent przekazał mi do posłuchania koncert fortepianowy Mozarta. To była chyba mina. No bo, kto dzisiaj słucha Mozarta? Ludzi męczy chyba taka muzyka. A może jednak się mylę. Gdyby tak jednak podać tę muzykę w sposób atrakcyjny? Zaproponowałem zatem wielkie granie tego koncertu na sądeckiej starówce. Ona podobno wymiera. Na początek z czterech głośników na rynku ustawionych w przekątnych.
Wielkie słuchanie Mozarta w Sączu! Potem ktoś rzucił, aby zaprosić Krzysztofa Zimmermanna, który zagrałby ten 20-ty koncert na płycie rynku. Potem może kolejne koncerty Mozarta? Można potem zapodać Beethovena. No dobrze, zagrać należy koncerty naszego Chopina. Zaczniemy od tego f-moll. Jak tak się rozsłuchamy, to potem zagrany zostanie zagmatwany koncert Lutosławskiego. Zimmermann umie go szczególnie dobrze grać. To taki mój pomysł na ożywianie sądeckiej starówki.
Idę oddać płytę z koncertem Mozarta na parapet prezydencki. Z pewnością Pan Prezydent już za nią tęskni i będzie dzisiaj wieczorem jej słuchał. No i właśnie, co teraz odnajdę na tych parapetach bibliotecznych? Może Ksiądz Proboszcz zaserwuje jakieś requiem? Jakąś mszę żałobną? Stabat mater? De prefundis… Czerwone portki wyglądał mi na jazzmana i zapodałby Free jazz Ornette Colemana.
Umierałem z ciekawości idąc pod sądecką bibliotekę. Czy klasyczni użytkownicy biblioteki idąc do biblioteki także przeżywają takie wzruszenia jak ja? Czy wyjście do biblioteki może stać się źródłem przeżyć i wzruszeń? Otóż może!
Na parapecie prezydenckim coś leży! Cieniusieńka książeczka, w sumie to nawet zeszyt. Ale tytuł jest bardzo długi i to jeszcze po niemiecku. Sprawa reparacji w Nowym Sączu jest przecież szczególnie newralgicznym tematem…
Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Kurt Gödel. Kompletne zaskoczenie! Wracamy na grunt logiki i matematyki. Znam tę pozycję. Przerabialiśmy tę pracę na kółku matematycznym w podstawówce. Przetłumaczę tytuł, to wszyscy zorientują się o co idzie w tym ponadczasowym dziele Gödla. O formalnie nierozstrzygalnych twierdzeniach Principia Mathematica i powiązanych systemach I. Prawda, że wiele się wyjaśniło? Przepraszam, za ten żart. To bardzo ciężka sprawa. Te 27 stron po prostu powala.
Ja znam ogólne tezy, twierdzenia, ale wywodu nie jestem w stanie zrozumieć. Teraz już wiem, że Pan Prezydent chce zadać ostateczny cios mojemu przemądrzalstwu i nieuctwu. Zaserwował wcześniej protekcjonalnie Mozarta, a teraz powalił Gödlem. Oczywiście zakładam, że Pan Prezydent z wielką biegłością czyta i rozumie wywód Gödla. Rozprawiają zapewne z Księdzem Proboszczem o konsekwencjach owych twierdzeń przy kieliszku porto. Ja na to wszystko jestem za mały. No i jakże nie zazdrościć Panu Prezydentowi i Księdzu Proboszczowi? Intelektu!
Idę nad Dunajec na ciężkich nogach. No dobrze, jakoś będę się przedzierał przez te 27 stron. Aż trudno pojąć, że te 27 stron zmieniło tak wiele w nauce. W zasadzie to ją wywróciło. Wszystko już nie było takie same. Był rok 1931. Kurt Gödel dokonał kopernikańskiego przewrotu i to 2 lata po swoim doktoracie.
Gdyby urodził się w Nowym Sączu, to postawilibyśmy mu pomnik, uruchomilibyśmy muzeum w ratuszu i cały świat przyjeżdżałby do nas. Starówka byłaby gwarna i pełniusieńka. Ludzie rozprawialiby o matematyce w kawiarniach, na skwerach… A i bez tego coś robi się w ramach uczenia matematyki w Ratuszu. To bardzo dobrze. Sugeruję, aby rozszerzyli program nauczania matematyki o Kurta Gödla. Niech także dołożą naszych matematyków ze szkoły lwowsko-warszawskiej. O Banachu także niech nie zapomną.
Aby było jaśniej, muszę nakreślić sytuację przed 1931. Platonicy matematyczni uważali, że matematyka posiada dziedzinę. Chodzi o to, że świat jest matematyczny i jest funkcją czasu i przestrzeni. Te dwa konstrukty są bowiem dziedziną matematyki. Matematyka dokonuje, jakby operacji na czasie i przestrzeni. Inni platonicy uważali, że wszystkie nauki stosowane są dziedziną matematyki. Na przykład – wielkości fizykalne obróbki skrawaniem – są dziedziną matematyki. Parametry filarów budowanego stadionu można także zaliczyć do matematycznej dziedziny.
Ale formaliści matematyczni sprawę widzieli inaczej. Oni traktowali matematykę, jako ciąg przekształceń. Matematyka była dla nich czymś takim, jak gra w szachy. Sprawę chciał rozwikłać słynny logik Gottlob Frege – praojciec informatyki. Stwierdził krótko, że matematyka jest redukowalna do logiki. Basta! Zdefiniował czym jest liczba. To nie takie proste, że 3 jest 3. To są zbiory równoliczne. To dość pokomplikowane. Zostawmy to.
Wszystkich pogodził Kurt Gödel! Sformułował dwa, gigantyczne, ponadczasowe prawa. Prawa o niezupełności i niesprzeczności. Trzeba dobrze wczuć się teraz czym jest i jak rozumiemy znaczenie: zupełność i niesprzeczność. Przerwijmy czytanie i popatrzmy w sufit…
To absolutne podstawy matematyki. Chyba największe w dziejach matematyki, tym samym każdej aksjomatycznej teorii dedukcyjnej. Tego powinni uczyć już w przedszkolu.
Na tych 27 stronach jest wszystko napisane. To jest niesamowite! Przewracam te kartki z tekstem przerywanym wzorami, w sumie to rachunkiem logicznym, są predykaty. Dość. Nie będę niczego cytował. Marzy mi się teraz czytanie encyklik…
Ogólnie, co zrobił Kurt Gödel? Przyporządkował różnym formom zdań – liczby. Relacje pomiędzy zdaniami uzyskało postać operacji arytmetycznych. No i wyszło, że w danym systemie formalnym zbiór zdań dających się wyprowadzić z aksjomatów nie pokrywa się z liczbą zdań prawdziwych. Krótko mówiąc: dowodów jest mniej niż zdań prawdziwych.
Dowodliwość jest słabsza niż prawdziwość! Nie wszystko można dowieść matematycznie. W otaczającej nas rzeczywistości jest więcej Prawdy niż dowodów na nasze ludzkie prawdy…
No i wszystko runęło! Matematyki nie można sprowadzić do logiki. Matematyka nie jest także nauką zamkniętą. Systemy formalne – także matematyka – muszą być albo zupełne, albo niesprzeczne. Nie mogą być jednocześnie zupełne i niesprzeczne.
Matematyka jest niesprzeczna i jest – niezupełna. Jest jakby – niedokończona. Co ważne: nie można jej dokończyć. Nigdy. A tak wielu dotąd twierdziło. Można teraz wyobrazić sobie komputer doskonały i doskonałą sztuczną inteligencję. No i jak z tym będzie? Otóż, nie ma takiego komputera, choćby kwantowego, nie ma takiego systemu AI, który rozwiąże wszystko. Zawsze będzie ten jeden konkret, który będzie nierozwiązywalny przez taką doskonałą maszynerię.
Przechodzę teraz do podania – zacytowania twierdzeń Kurta Gödla. Proszę wziąć głęboki oddech.
Każdy system formalny rozstrzygalny jest niezupełny – I twierdzenie Gödla.
Zatem, gdy postaramy się bardzo i stworzymy coś rozstrzygalnego, to nie będzie zupełne. Czegoś zawsze będzie brakować. Gdy zatem szwagier na imieninach zacznie głosić, że ma bezwzględną rację, to trzeba mu zaserwować I twierdzenie Gödla. Tak można go załatwić, oczywiście szwagra, nie Gödla.
Nie można dowieść niesprzeczności każdego systemu formalnego rozstrzygalnego – II twierdzenie Gödla.
Gdy system będzie rozstrzygalny, to będzie sprzeczny. Dokładniej: nie można dowieść jego niesprzeczności. Na tych samych imieninach, gdy zdarzy nam się powiedzieć jakąś głupotę, a szwagier to wychwyci, to teraz serwujemy mu II twierdzenie Gödla. Nie można nam dowieść niesprzeczności. Gdy szwagrowe słowa będą rozstrzygalne, to po prostu będą sprzeczne. No i wychodzimy na swoje, szwagier w końcu zamilknie.
Prawda, że brzmi to zgrabnie! Trzeba tylko mocno wmyślić się w te twierdzenia. Można doznać jakby objawienia i zakrzyknąć: eureka!
Teraz zapewne włączyłby się Ksiądz Proboszcz i z uśmiechem stwierdziłby, że to jest w sumie matematyczny dowód na … istnienie Boga. Tylko bowiem Bóg jest zupełny i niesprzeczny! W jego istocie nie ma żadnego elementu, którego nie można rozstrzygnąć. Wszystko jest jasne, pełne i rozstrzygalne. Święty Augustyn jakoś podobnie twierdził. Ale ateiści obeznani w matmie zaczynają teraz się śmiać. Może jednak bezpieczniej siedzieć na agnostycznych pozycjach?
Ciekawe co o tym myśli Pan Prezydent… A gdyby tak opublikował swoje stanowisko w Kurierze Nowosądeckim? Ten numer mógłby zyskać ogólnopolski rozgłos.
Ja idę kąpać się w Dunajcu. Wiosenne wody pod mostem wyżłobiły sporą dziurę i tam można skoczyć na główkę. Zamierzam oddać kilka skoków.
PS
Czytajmy mądre książki.
